問題詳情:
如圖,點P是x軸上一點,以P為圓心的圓分別與x軸、y軸交於A、B、C、D四點,
已知A(-3,0)、B(1,0),過點C作⊙P的切線交x軸於點E.(1)求直線CE的解析式;(2)若點F是線段CE上一動點,點F的橫座標為m,問m在什麼範圍時,直線FB與⊙P相交?(3)若直線FB與⊙P的另一個交點為N,當點N是
|
ADB |
的中點時,求點F的座標;(4)在(3)的條件下,CN交x軸於點M,求CM•CN的值.
試題*
練習冊*
在線課程
分析:(1)連PC,利用OC2=OA•OB,得OC=
,得C的座標,利用CE是⊙P的切線,求E的座標,設直線CE的解析式為y=kx+b,將C、E兩點座標代入解析式,可得直線CE的解析式;(2)當0≤m≤3且m≠1時,直線FB與⊙P相交;(3)先求得N(-1,-2)設直線NB的解析式為y=kx+b,把N、B兩點座標代入解析式,求直線NB的解析式.解兩直線表達式組成的方程組,求交點座標;(4)連接AC、BC,點N是
|
ADB |
的中點,易*△AMC∽△NBC.所以
=
,即MC•NC=BC•AC.分別求相關線段的長得解.
解答:解:(1)連PC.∵A(-3,0),B(1,0),∴⊙P的直徑是4,∴半徑R=2,OP=1.又∵CD⊥AB,AB是直徑,∴OC2=OA•OB=3×1=3,∴OC=
.∴C(0,
). (1分)又∵⊙P的半徑是2,OP=1,∴∠PCO=30°.又CE是⊙P的切線,
∴PC⊥CE.∴∠PEC=30°.∴PE=2PC=4,EO=PE-MP=3.∴E(3,0). (2分)設直線CE的解析式為y=kx+b,將C、E兩點座標代入解析式,得
,解得
.∴直線CE的解析式為y=-
x+
①;(4分)(2)∵m=1時,直線FB與⊙P相切,∴m≠1.∵E(3,0),∴當0≤m≤3且m≠1時,直線FB與⊙P相交;(6分)(3)解法一:∵點N是
|
ADB |
的中點,∴N(-1,-2).設直線NB的解析式為y=kx+b,把N、B兩點座標代入解析式,得
,解得
.∴直線NB的解析式為y=x-1 ②.由①,②式得
,解得
.∴F(
,
-1). (10分)解法二:過點F作FH⊥BE於H,∵N是
|
ADB |
的中點,則∠ABN=∠FBE=45°,∴∠BFH=45°,∴BH=FH.由(1)知∠CEP=30°,∴HE=
FH.∵OE=OB+BH+HE,∴1+FH+
FH=3,FH=
-1,∴OH=OB+BH=1+(
-1)=
.∴F(
,
-1);(4)連接AC、BC.∵點N是
|
ADB |
的中點,∴∠NCA=∠CAN,又∠CAB=∠CNB,∴△AMC∽△NBC.∴
=
,∴MC•NC=BC•AC.∵OA=OE=3,∴△ACE為等腰三角形.∴AC=CE=
=
=2
,BC=
=2.∴MC•NC=BC•AC=4
. (14分)
點評:主要考查了函數和幾何圖形的綜合運用.解題的關鍵是會靈活的運用函數圖象上點的意義和相似三角形的*質來表示相應的線段之間的關係,再結合具體圖形的*質求解.試題中貫穿了方程思想和數形結合的思想,請注意體會.
【回答】
分析:(1)連PC,利用OC2=OA•OB,得OC=
,得C的座標,利用CE是⊙P的切線,求E的座標,設直線CE的解析式為y=kx+b,將C、E兩點座標代入解析式,可得直線CE的解析式;(2)當0≤m≤3且m≠1時,直線FB與⊙P相交;(3)先求得N(-1,-2)設直線NB的解析式為y=kx+b,把N、B兩點座標代入解析式,求直線NB的解析式.解兩直線表達式組成的方程組,求交點座標;(4)連接AC、BC,點N是
|
ADB |
的中點,易*△AMC∽△NBC.所以
=
,即MC•NC=BC•AC.分別求相關線段的長得解.
解答:解:(1)連PC.∵A(-3,0),B(1,0),∴⊙P的直徑是4,∴半徑R=2,OP=1.又∵CD⊥AB,AB是直徑,∴OC2=OA•OB=3×1=3,∴OC=
.∴C(0,
). (1分)又∵⊙P的半徑是2,OP=1,∴∠PCO=30°.又CE是⊙P的切線,
∴PC⊥CE.∴∠PEC=30°.∴PE=2PC=4,EO=PE-MP=3.∴E(3,0). (2分)設直線CE的解析式為y=kx+b,將C、E兩點座標代入解析式,得
,解得
.∴直線CE的解析式為y=-
x+
①;(4分)(2)∵m=1時,直線FB與⊙P相切,∴m≠1.∵E(3,0),∴當0≤m≤3且m≠1時,直線FB與⊙P相交;(6分)(3)解法一:∵點N是
|
ADB |
的中點,∴N(-1,-2).設直線NB的解析式為y=kx+b,把N、B兩點座標代入解析式,得
,解得
.∴直線NB的解析式為y=x-1 ②.由①,②式得
,解得
.∴F(
,
-1). (10分)解法二:過點F作FH⊥BE於H,∵N是
|
ADB |
的中點,則∠ABN=∠FBE=45°,∴∠BFH=45°,∴BH=FH.由(1)知∠CEP=30°,∴HE=
FH.∵OE=OB+BH+HE,∴1+FH+
FH=3,FH=
-1,∴OH=OB+BH=1+(
-1)=
.∴F(
,
-1);(4)連接AC、BC.∵點N是
|
ADB |
的中點,∴∠NCA=∠CAN,又∠CAB=∠CNB,∴△AMC∽△NBC.∴
=
,∴MC•NC=BC•AC.∵OA=OE=3,∴△ACE為等腰三角形.∴AC=CE=
=
=2
,BC=
=2.∴MC•NC=BC•AC=4
. (14分)
點評:主要考查了函數和幾何圖形的綜合運用.解題的關鍵是會靈活的運用函數圖象上點的意義和相似三角形的*質來表示相應的線段之間的關係,再結合具體圖形的*質求解.試題中貫穿了方程思想和數形結合的思想,請注意體會.
知識點:
題型: