如圖，點A，B，C都在拋物線y=ax2﹣2amx+am2+2m﹣5（其中﹣＜a＜0）上，AB∥x軸，∠ABC=...

問題詳情：

如圖，點A，B，C都在拋物線y=ax2﹣2amx+am2+2m﹣5（其中﹣＜a＜0）上，AB∥x軸，∠ABC=135°，且AB=4．

（1）填空：拋物線的頂點座標為      （用含m的代數式表示）；

（2）求△ABC的面積（用含a的代數式表示）；

（3）若△ABC的面積為2，當2m﹣5≤x≤2m﹣2時，y的最大值為2，求m的值．

【回答】

解：（1）∵y=ax2﹣2amx+am2+2m﹣5=a（x﹣m）2+2m﹣5，∴拋物線的頂點座標為（m，2m﹣5）．

故*為：（m，2m﹣5）．

（2）過點C作直線AB的垂線，交線段AB的延長線於點D，如圖所示．

∵AB∥x軸，且AB=4，∴點B的座標為（m+2，4a+2m﹣5）．

∵∠ABC=135°，∴設BD=t，則CD=t，∴點C的座標為（m+2+t，4a+2m﹣5﹣t）．

∵點C在拋物線y=a（x﹣m）2+2m﹣5上，∴4a+2m﹣5﹣t=a（2+t）2+2m﹣5，整理，得：at2+（4a+1）t=0，解得：t1=0（捨去），t2=﹣，∴S△ABC=AB•CD=﹣．

（3）∵△ABC的面積為2，∴﹣ =2，解得：a=﹣，∴拋物線的解析式為y=﹣（x﹣m）2+2m﹣5．

分三種情況考慮：

①當m＞2m﹣2，即m＜2時，有﹣（2m﹣2﹣m）2+2m﹣5=2，整理，得：m2﹣14m+39=0，解得：m1=7﹣（捨去），m2=7+（捨去）；

②當2m﹣5≤m≤2m﹣2，即2≤m≤5時，有2m﹣5=2，解得：m=；

③當m＜2m﹣5，即m＞5時，有﹣（2m﹣5﹣m）2+2m﹣5=2，整理，得：m2﹣20m+60=0，解得：m3=10﹣2（捨去），m4=10+2．

綜上所述：m的值為或10+2．

知識點：各地中考

題型：解答題