已知關於x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+（m2+1）=0有實數根．（1）求m的值；（2）先作y=x2﹣（m...

問題詳情：

已知關於x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+（m2+1）=0有實數根．

（1）求m的值；

（2）先作y=x2﹣（m+1）x+（m2+1）的圖象關於x軸的對稱圖形，然後將所作圖形向左平移3個單位長度，再向上平移2個單位長度，寫出變化後圖象的解析式；

（3）在（2）的條件下，當直線y=2x+n（n≥m）與變化後的圖象有公共點時，求n2﹣4n的最大值和最小值．

【回答】

【考點】HA：拋物線與x軸的交點；AA：根的判別式；H6：二次函數圖象與幾何變換；H7：二次函數的最值．

【分析】（1）由題意△≥0，列出不等式，解不等式即可；

（2）畫出翻折．平移後的圖象，根據頂點座標即可寫出函數的解析式；

（3）首先確定n的取值範圍，利用二次函數的*質即可解決問題；

【解答】解：（1）對於一元二次方程x2﹣（m+1）x+（m2+1）=0，

△=（m+1）2﹣2（m2+1）=﹣m2+2m﹣1=﹣（m﹣1）2，

∵方程有實數根，

∴﹣（m﹣1）2≥0，

∴m=1．

（2）由（1）可知y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，

圖象如圖所示：

平移後的解析式為y=﹣（x+2）2+2=﹣x2﹣4x﹣2．

（3）由消去y得到x2+6x+n+2=0，

由題意△≥0，

∴36﹣4n﹣8≥0，

∴n≤7，

∵n≤m，m=1，

∴1≤n≤7，

令y′=n2﹣4n=（n﹣2）2﹣4，

∴n=2時，y′的值最小，最小值為﹣4，

n=7時，y′的值最大，最大值為21，

∴n2﹣4n的最大值為21，最小值為﹣4．

知識點：各地中考

題型：解答題