已知正方形ABCD,E,F分別是CD,AD的中點,BE,CF交於點P.求*:(1)BE⊥CF.(2)AP=AB...

問題詳情：

已知正方形ABCD,E,F分別是CD,AD的中點,BE,CF交於點P.

求*:(1)BE⊥CF.

(2)AP=AB.

【回答】

解:(1)如圖,建立直角座標系xOy,其中A為原點,

不妨設AB=2,則A(0,0),B(2,0),

C(2,2),E(1,2),F(0,1).

=-=(1,2)-(2,0)

=(-1,2),

=-=(0,1)-(2,2)

=(-2,-1).

因為·=-1×(-2)+2×(-1)=0,

所以⊥,即BE⊥CF.

(2)設P(x,y),則=(x,y-1),=(-2,-1).

因為∥,所以-x=-2(y-1),

即x=2y-2.

同理由∥,得y=-2x+4,

兩式聯立得:x=,y=,即P.

所以=+=4=,

所以||=||,即AP=AB.

知識點：平面向量

題型：解答題