問題詳情:
如圖1,直線AB分別與x軸、y軸交於A、B兩點,OC平分∠AOB交AB於點C,點D為線段AB上一點,過點D作DE∥OC交y軸於點E,已知AO=m,BO=n,且m、n滿足n2﹣12n+36+|n﹣2m|=0.
(1)求A、B兩點的座標;
(2)若點D為AB中點,延長DE交x軸於點F,在ED的延長線上取點G,使DG=DF,連接BG.
①BG與y軸的位置關係怎樣?説明理由;
②求OF的長;
(3)如圖2,若點F的座標為(10,10),E是y軸的正半軸上一動點,P是直線AB上一點,且P的橫座標為6,是否存在點E使△EFP為等腰直角三角形?若存在,求出點E的座標;若不存在,説明理由.
【回答】
【解答】(1)由n2﹣12n+36+|n﹣2m|=0.得:(x﹣6)2+|n﹣2m|=0,
∴n=6,m=3,
∴A(3,0),B(0,6).
(2)①BG⊥y軸.
在△BDG與△ADF中,,
∴△BDG≌△ADF
∴BG=AF,∠G=∠DFA
∵OC平分∠ABC,
∴∠COA=45°,
∵DE∥OC,
∴∠DFA=45°,∠G=45°.
∵∠FOE=90°,
∴∠FEO═45°
∵∠BEG=45°,
∴∠EBG=90°,
即BG與y軸垂直.
②從①可知,BG=FA,△BDE為等腰直角三角形.
∴BG=BE.
設OF=x,則有OE=x,3+x=6﹣x,解得x=1.5,
即:OF=1.5.
(3)∵A(3,0),B(0,6).
∵直線AB的解析式為:y=﹣2x+6,
∵P點的橫座標為6,
故P(6,﹣6)
要使△EFP為等腰直角三角形,必有EF=EP,且∠FEP═90°,
如圖2,過F、P分別向y軸作垂線垂足分別為M、N.
∵∠FEP═90°
∴∠FEM+∠PEN=90°,又∠FEM+∠MFE=90°
∴∠PEN=∠MFE
∴Rt△FME≌Rt△ENP
∴ME=NP=6,
∴OE=10﹣6=4.
即存在點E(0,4),使△EFP為等腰直角三角形
知識點:三角形全等的判定
題型:解答題