已知函數f(x)＝lnx＋ax(a∈R)．(1)求f(x)的單調區間；(2)設g(x)＝x2－4x＋2，若對任...

問題詳情：

已知函數f(x)＝ln x＋ax(a∈R)．

(1)求f(x)的單調區間；

(2)設g(x)＝x2－4x＋2，若對任意x1∈(0，＋∞)，均存在x2∈[0,1]，使得f(x1)<g(x2)，求a的取值範圍．

【回答】

解：(1)f′(x)＝a＋＝ (x>0)．

①當a≥0時，由於x>0，故ax＋1>0，

f′(x)>0，

所以f(x)的單調遞增區間為(0，＋∞)．

②當a<0時，由f′(x)＝0，得x＝－.

在區間上，f′(x)>0，在區間上，

f′(x)<0，所以函數f(x)的單調遞增區間為，

單調遞減區間為.

綜上所述，當a≥0時，f(x)的單調遞增區間為(0，＋∞)，

當a<0時，f(x)的單調遞增區間為，單調遞減區間為.

(2)由題意得f(x)max<g(x)max，

而g(x)max＝2，

由(1)知，當a≥0時，f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，值域為R，故不符合題意．

當a<0時，f(x)在上單調遞增，在上單調遞減，

故f(x)的極大值即為最大值，f＝－1＋ln＝－1－ln(－a)，

所以2>－1－ln(－a)，解得a<－.

故a的取值範圍為.

知識點：基本初等函數I

題型：解答題